Théorie de l'addition des variables aléatoires, 2e éd. 1954
LEVY, Paul (1886-1971)
Libraire: Editions Jacques Gabay (PARIS, n/a, France)
Description du livre: Editions Jacques Gabay, 2003. Couverture souple. État : Neuf. *** CARACTERISTIQUES : 17 x 24, 416 p., 1 vol., broché. Reprint de la 2e édition, Gauthier-Villars, 1954. Préface par Emile Borel. *** CONTENU : Les fondements de la notion de probabilité. Lois de probabilité et partitions. Lois à une ou plusieurs variables. La composition des probabilités et le théorème de Bernoulli. Théorèmes relatifs à la loi de Gauss. Probabilités dénombrables et séries aléatoires à termes indépendants. Les intégrales à éléments aléatoires indépendants. Questions diverses relatives aux sommes de variables enchaînées. Application du calcul des probabilités à la théorie des fractions continues. Note I : Loi faible et loi forte des grands nombres. Note II : Notions sommaires sur les processus stochastiques. ***.
Paul LEVY
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Le calcul des probabilités a fait, depuis environ quinze ans, des progrès immenses. Des problèmes classiques ont reçu une solution plus complète qu'il ne semblait au début de ce siècle possible d'espérer. Des problèmes nouveaux, nés de la théorie des probabilités dénombrables, ont été posés et souvent résolus. Aussi ne saurait-il être question de donner en un volume un exposé de l'ensemble du calcul des probabilités, dans son état actuel. Mon but est plus restreint. Mes recherches personnelles ayant eu principalement pour objet, depuis plusieurs années, l'étude des problèmes asymptotiques relatifs aux probabilités, il m'a semblé que le moment était venu de donner un exposé d'ensemble de l'état actuel des questions que j'ai ainsi étudiées, et qui ont pendant la même période fait l'objet de nombreux travaux parmi lesquels il convient de mentionner tout spécialement ceux de MM. A. Khintchine et A. Kolmogoroff.
Je n'ai pensé à choisir un titre pour ce livre qu'après en avoir terminé la rédaction, et il était difficile d'en trouver un qui corresponde exactement aux questions exposées. Aussi le lecteur ne doit-il pas s'étonner s'il trouve que mon sujet n'a pas été traité d'une manière complète, ou au contraire que j'en suis sorti dans le dernier chapitre ; c'est le titre qui a tort ; mon intention a été de parler des questions sur lesquelles j'avais quelque chose à dire.
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Paul LÉVY
THÉORIE DE L'ADDITION
DES
VARIABLES ALÉATOIRES
Préface par
Émile BOREL
Deuxième édition
Paris, Gauthier-Villars
1954
Auteur :
Paul LÉVY
Préface :
Émile BOREL
Thème :
MATHÉMATIQUES
Probabilités
Reprint 2003
17 x 24 cm
416 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-207-5
S O M M A I R E
1 - Les fondements de la notion de probabilité.
Probabilité subjective et loi de probabilité.
Principe des probabilités composées.
Les conséquences vérifiables de la théorie.
Valeur objective de la probabilité.
Probabilité et fréquence ; déterminations statistiques.
Critique des définitions empiriques de la probabilité.
2 - Lois de probabilité et partitions.
Cas d'un ensemble dénombrable. Principe des probabilités totales.
Cas d'un ensemble non dénombrable.
La mesure d'un ensemble linéaire.
Définition d'une loi de probabilité dans un ensemble abstrait. La notion de partition.
Remarques complémentaires.
3 - Lois à une ou plusieurs variables.
Lois à une variable. Fonctions de répartition.
Valeur probable et intégrale de Stieltjes.
La fonction caractéristique.
La loi de Gauss.
Dispersion d'une variable aléatoire.
Lois de probabilité variables.
Notions sur les suites de variables aléatoires.
La notion d'ensemble compact.
Application de la notion précédente aux lois de probabilité.
Types de lois et lois réduites.
Lois à deux variables.
La notion de probabilité conditionnelle.
4 - La composition des probabilités et le théorème de Bernoulli.
Formules fondamentales.
Composition des moments et des fonctions caractéristiques.
Démonstration et généralisation du théorème de Bernoulli par la méthode de Tchebycheff.
Le cas de Bernoulli et la méthode de Moivre.
La loi de Poisson, ou des petites probabilités.
L'augmentation de la dispersion.
5 - Théorèmes relatifs à la loi de Gauss.
Premières notions de lois stables.
Le théorème de H. Cramér.
Un corollaire du théorème de H. Cramér.
Le théorème de Liapounoff, ou second théorème limite du calcul des probabilités.
Extension du théorème de Liapounoff.
Le théorème réciproque.
Le domaine d'attraction de la loi de Gauss.
Remarques et cas particuliers.
Conclusion relative au cas général.
6 - Probabilités dénombrables et séries aléatoires à termes indépendants.
Premières notions sur les probabilités dénombrables.
Les lemmes de MM. Borel et Cantelli.
Probabilités égales à zéro ou un.
La dispersion limite pour une série à termes aléatoires indépendants.
Convergence au point de vue de Bernoulli et convergence en probabilité.
Les oscillations de la suite des Sn et la probabilité de la convergence.
La condition de convergence en moyenne.
La condition de MM. Khintchine et Kolmogoroff pour la convergence presque sûre.
Un théorème sur le cas de divergence.
Sommes de termes à dispersions bornées inférieurement.
7 - Les intégrales à éléments aléatoires indépendants.
La position du problème.
La condition de convergence et la réduction au problème des lois indéfiniment divisibles.
Détermination de X(t).
Cas où la fonction X(t) est presque sûrement continue ; rôle de la loi de Gauss.
Le rôle des discontinuités mobiles et la loi de Poisson.
Détermination générale des lois indéfiniment divisibles.
L'arithmétique des lois indéfiniment divisibles.
L'arithmétique générale des lois de probabilité.
Un problème de A. Khintchine.
Application à l'étude des lois stables.
Autres méthodes pour la formation des lois stables.
Lois semi-stables.
Lois quasi-stables.
Conclusion relative au groupe d'une loi donnée.
Intégrales multiples à éléments aléatoires indépendants.
Lois indéfiniment divisibles à plusieurs variables.
Lois stables à plusieurs variables.
8 - Questions diverses relatives aux sommes de variables enchaînées.
Le problème général des probabilités en chaîne.
Les chaînes simples de Markoff.
L'extension du théorème de Bernoulli et de la méthode de Tchebycheff aux sommes de variables enchaînées.
La méthode de M. Lindeberg pour le théorème de Liapounoff.
La convergence des séries à termes non indépendants.
La loi forte des grands nombres.
La loi du logarithme itéré.
Remarques et compléments.
Le cas de Bernoulli et la loi forte des grands nombres.
9 - Application du calcul des probabilités à la théorie des fractions continues.
Rappel de notions classiques.
Les inégalités de M. Borel et les problèmes du premier groupe.
Le problème de Gauss. Premières formules de récurrence.
Nouvelles formules de récurrence et démonstration de la convergence.
Extension de la formule de Gauss à certains cas où la répartition de la probabilité n'est pas uniforme.
Application de la loi forte des grands nombres.
Application des résultats précédents à l'étude des sommes de M. Khintchine.
Note I : Loi faible et loi forte des grands nombres.
Note II : Notions sommaires sur les processus stochastiques.
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