COMMENT POSER ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME Mathématiques - Physique Jeux - Philosophie - George POLYA - Deuxième édition augmentée Traduit par Mme C. Mesnage Préface de Georges Darmois

ANASTATIQUE DIGITAL.

George POLYA

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COMMENT POSER ET Résoudre UN Problème (1994)
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Traduction : Mme C. MESNAGE
Préface : Georges DARMOIS
Thèmes : MATHÉMATIQUES
Raisonnement. Méthodes. Invention
Problèmes
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S O M M A I R E

I - DANS LA SALLE DE CLASSE
Notre but.
- Aider l'élève.
- Questions, recommandations, opérations intellectuelles.
- La Généralité.
- Le Bon sens.
- Professeur et élève. Imitation et Pratique.
Divisions principales. Questions principales.
- Les quatre phases.
- Comprendre le problème.
- Concevoir un plan.
- Exécution du plan.
- Revenir en arrière.
- Divers moyens d'approche.
- La méthode d'interrogation du professeur.
- Bonnes et mauvaises questions.
Autres exemples.
- Problème de construction.
- Problème à démontrer.
- Problème de taux de variation.

II - RÉSOUDRE
Dialogue.
- Faire connaissance.
- Travailler pour mieux comprendre.
- Rechercher l'idée heureuse.
- Mettre le plan à exécution.
- Revenir sur la solution.

III - PETIT DICTIONNAIRE D'HEURISTIQUE
- L'Amateur de problèmes.
- L'Analogie.
- L'Avez-vous déja rencontré ?
- BOLZANO.
- Condition.
- Connaissez-vous un problème qui se rattache au vôtre ?
- Contradictoire.
- Corollaire.
- Décomposer et Recomposer le problème.
- Définition.
- DESCARTES.
- Dessinez une figure.
- Détermination, espoir, succès.
- Diagnostic.
- Distinguer les diverses parties de la condition.
- Éléments auxiliaires.
- Énigmes.
- Est-il possible de satisfaire à la condition ?
- Examen des dimensions.
- Examinez vos hypothèses.
- Figures.
- Futur mathématicien.
- La Généralisation.
- Heuristique.
- L'Heuristique moderne.
- Une Idée lumineuse.
- Indices du progrès.
- Induction et induction mathématique.
- Introduisez une notation appropriée.
- Le Lecteur intelligent.
- LEIBNITZ.
- Lemme.
- Mettre le plan à exécution.
- La Mise en équation.
- Notation.
- PAPPUS.
- Le Paradoxe de l'inventeur.
- Particularisation.
- Pédantisme et maîtrise.
- Pourquoi des preuves ?
- Pourriez-vous énoncer le problème différemment ?
- Pourriez-vous tirer des données un élément utile ?
- Pouvez-vous trouver le résultat différemment ?
- Pouvez-vous vérifier le résultat ?
- Pouvez-vous vérifier le raisonnement ?
- Pouvez-vous vous servir du résultat ?
- Preuve par l'absurde et preuve indirecte.
- Problème auxiliaire.
- Problèmes à résoudre. Problèmes à démontrer.
- Problèmes pratiques.
- Problèmes de routine.
- Le Professeur de mathématiques traditionnel.
- Progrès et aboutissement.
- Quelle est l'inconnue ?
- Raisonnement heuristique.
- Raisonnement régressif.
- Redondante.
- Regardez bien l'inconnue.
- Règles de la découverte.
- Règles de l'enseignement.
- Règles de style.
- Sagesse des proverbes.
- Si vous ne pouvez résoudre le problème qui vous est proposé.
- Symétrie.
- Les Termes anciens et nouveaux.
- Travail subconscient.
- Variation du problème.
- Voici un problème qui se rattache au vôtre, et que vous avez déjà résolu.
- Vous êtes-vous servi de toutes les données ?

IV - PROBLEMES - CONSEILS - SOLUTIONS

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POLYA : Comment poser et résoudre un problème, 2e éd., 1965
Référence: 049

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Bien que cet ouvrage réponde tout particulièrement aux exigences des élèves et des professeurs de mathématiques, il devrait aussi parler à l'esprit de tous ceux qu'intéresse l'étude des voies et moyens de l'invention et de la découverte. Ce genre d'intérêt est d'ailleurs plus répandu qu'on ne pourrait le penser au premier abord. La place que les journaux et revues populaires réservent aux mots croisés et autres énigmes semble prouver que bien des gens consacrent un certain temps à résoudre des problèmes sans intérêt pratique. Derrière ce désir de résoudre tel ou tel problème qui n'apporte aucun avantage matériel, il peut y avoir une curiosité plus profonde, un désir de comprendre les voies et moyens, les raisons et le processus de la solution.
Les pages suivantes, rédigées de façon assez concise, et le plus simplement possible, résultent d'une longue et sérieuse étude des méthodes de solution. Ce genre d'étude, que certains écrivains nomment heuristique, n'est pas à la mode de nos jours, mais remonte loin dans le passé et a peut-être quelque avenir.
En étudiant les méthodes de solution des problèmes nous apercevons un autre aspect de la mathématique. Celle-ci, en effet, a deux visages : c'est la science rigoureuse d'Euclide, mais c'est aussi quelque chose d'autre. La mathématique présentée à la manière euclidienne apparaît comme une science systématique, déductive ; mais la mathématique en voie de formation se présente comme une science expérimentale, inductive. Ces deux aspects sont aussi anciens que la science même de la mathématique. Mais le second est nouveau sous certain rapport ; on n'a, en effet, jamais présenté tout à fait ainsi les mathématiques « in statu nascendi » (c'est-à-dire telles qu'elles sont lorsqu'on est en train de les inventer) ni à l'élève, ni au professeur lui-même, ni au grand public.
L'heuristique a maintes ramifications : les mathématiciens, les logiciens, les psychologues, les pédagogues, les philosophes même peuvent revendiquer certains de ses aspects comme appartenant à leur propre domaine. Se rendant parfaitement compte de la possibilité de critiques venant des horizons les plus divers, et pleinement conscient de ses limites, l'auteur se permet toutefois de faire remarquer qu'il possède une certaine expérience de la solution des problèmes et de l'enseignement des mathématiques à des stades divers.
Deux autres ouvrages, Induction and analogy in Mathematics et Patterns of plausible inference, continuent la ligne de pensée adoptée dans le présent livre ; une traduction française est parue sous le titre commun : Les mathématiques et le raisonnement"plausible".
George POLYA, Préface
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POLYA, George
Né le 13 décembre 1887 à Budapest, Hongrie
Décédé le 7 septembre 1985 à Palo Alto, Californie, USA

La partie la plus importante de son œuvre se rapporte aux domaines suivants :
- Probabilités
- Analyse complexe
- Analyse réelle, théorie de l'approximation, analyse numérique
- Combinatoire
- Physique mathématique
- Enseignement et apprentissage des mathématiques (Polya est un maître de l'heuristique)

Ouvrages :
- Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis, 2 vol. (avec G. Szego), 1925
- Inequalities (avec G. H. Hardy et J. E. Littlewood), 1934
- How To Solve It : A New Aspect of Mathematical Method, 1945
- Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics (avec G. Szego), 1951
- Mathematics and Plausible Reasoning : vol. 1, Induction and Analogy in Mathematics, vol. 2, Patterns of Plausible Inference, 1954
- Les mathématiques et le raisonnement "plausible", 1958
- Mathematical Discovery : On Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving, 2 vol., 1962
- Comment poser et résoudre un problème, 2e éd., 1965
- Problems and Theorems in Analysis, vol. 1 (avec G. Szego), 1972
- Collected Papers : vol. 1, Singularities of Analytic Functions, vol. 2, Location of Zeros, 1974
- Problems and Theorems in Analysis, vol. 2 (avec G. Szego), 1976
- Collected Papers, vol. 3, Analysis, 1984
- Collected Paper, vol. 4, Probability, Combinatorics, Teaching and Learning Mathematics, 1984
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George POLYA