CALCUL DES PROBABILITÉS Paul LÉVY

LÉVY : Calcul des probabilités, 1925
Editions Gabay 2004
***
Paul LÉVY
CALCUL DES PROBABILITÉS
Paris, Gauthier-Villars
1925
Auteur :
Paul LÉVY

Thème :
MATHÉMATIQUES
Probabilités

Reprint 2004
17 x 24 cm
368 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-231-0

S O M M A I R E

I - LES PRINCIPES DU CALCUL DES PROBABILITÉS
1 - La probabilité subjective et les principes de la théorie mathématique.
Définition de la probabilité au point de vue subjectif.
Mesure de la probabilité.
Probabilités rationnelles et irrationnelles.
Premier principe : principe d'addition des probabilités ou principe des probabilités totales.
Définition d'une loi de probabilité.
Expériences comportant une infinité de cas.
Deuxième principe : principe des probabilités composées.
Principe de Bayes.
Probabilités a posteriori et probabilité des causes.
Relation entre le principe de Bayes et le principe des probabilités composées.

2 - Les conséquences vérifiables de la théorie. Probabilité et fréquence.
La notion d'évènement très peu probable.
Premières remarques sur la répétition des expériences.
Cas du jeu de pile ou face.
Application du principe des probabilités composées.
Généralisation des résultats précédents.
La loi des grands nombres.
La probabilité mesurée par la fréquence.

3 - Valeur objective de la probabilité.
Le hasard, d'après Poincaré.
Exemple tiré des mathématiques.
Valeur objective de la notion d'évènement très peu probable.
Valeur objective de la probabilité.
Étude de la roulette.
Étude du battage des cartes.
Conclusion relative aux probabilités dans les jeux de hasard.
Remarques diverses.

4 - Notions diverses relatives aux lois de probabilité. La loi de Gauss et sa relation avec la loi des grands nombres.
La notion de valeur probable.
Relation entre la notion de valeur probable et celle de de centre de gravité.
Moyennes des divers ordres.
L'ordre de grandeur d'une erreur et celui d'une variable éventuelle.
Premières applications des notions précédentes.
Démonstration de la loi des grands nombres par la méthode de Tchebychef.
La notion de loi réduite.
La loi de Gauss et le jeu de pile ou face.
La loi de Gauss et les jeux de hasard en général.
La loi de Gauss et la théorie des erreurs.
La notion de précision d'une mesure.
Autres applications de la loi de Gauss.

5 - La probabilité déduite de l'expérience et les sciences statistiques.
La probabilité déduite de l'expérience.
Discussion d'un problème introduisant la probabilité subjective.
Nécessité de compléter les résultats expérimentaux par une étude théorique des conditions de l'expérience.
Cas particulier du problème précédent : reconnaître si une suite de chiffres donnée a été choisie au hasard.
Généralités sur les problèmes de statistique.
Premier exemple : la taille des habitants d'un pays.
Deuxième exemple : étude de la mortalité.
Observations générales sur les opérations d'assurance.

6 - Critique de la théorie du gain probable.
La notion de valeur probable et les jeux de hasard.
Principe fondamental d'après lequel on doit, en principe, chercher à rendre le gain probable aussi grand que possible.
Première restriction au principe fondamental, relative au cas où le nombre d'expériences n'est pas suffisant pour permettre l'application de la loi des grands nombres.
Cas du billet de loterie.
Le paradoxe de Saint Pétersbourg.
Deuxième restriction au principe fondamental.
Distinction entre la valeur d'un gain et l'intérêt qu'il y a à le réaliser, ou gain moral.
De l'avantage du plus riche des deux joueurs dans un jeu équitable.
La théorie de l'espérance morale.
Conclusions et remarques.

II - THÉORIE MATHÉMATIQUE DES PROBABILITÉS
1 - Notions générales sur les lois de probabilité et sur la théorie des ensembles.
Définition d'une loi de probabilité à une variable.
Ensembles dénombrables.
Ensembles dénombrables de points situés sur une droite.
Ensembles de mesure nulle.
Première classe de masses ; masses finies concentrées en certains points.
Deuxième classe ; masses de densité sommable.
Troisième classe ; masses réparties dans un ensemble de mesure nulle, sans qu'aucun point contienne de masse finie.
Cas général.
Notions sur les lois de probabilité à deux variables.

2 - Valeurs probables, coefficients caractéristiques et fonction caractéristique.
Expression analytique de la valeur probable.
L'intégrale de Stieltjes.
Propriétés des moyennes des divers ordres.
Coefficients caractéristiques.
Fonction caractéristique.
Intégrale de Dirichlet.
Détermination d'une loi de probabilité par sa fonction caractéristique.
Cas des lois absolument continues. Formules de Fourier.
Détermination des masses de la première classe. Relation avec la théorie des séries de Fourier. Remarques diverses.
Conditions pour qu'une fonction soit caractéristique. Propriétés d'une loi de probabilité, déduites de sa fonction caractéristique.
Exemple de loi continue. La loi de Gauss.
Autre exemple. La loi de Cauchy.

3 - Composition des lois de probabilité.
Notions générales.
Addition des valeurs probables.
Composition des coefficients caractéristiques.
Composition des fonctions caractéristiques.
Application aux lois de Gauss et de Cauchy.
Formules directes pour la composition des probabilités.
Application de la méthode directe aux lois de Gauss et de Cauchy.

4 - Lois de probabilité variables. La notion de la loi réduite.
Limite d'une loi de probabilité.
Limite de la fonction caractéristique.
Réciproque du théorème précédent.
Lois de probabilité tendant vers un type donné.
La notion de loi réduite.
Premier procédé de réduction : valeur probable et erreur quadratique moyenne.
Application aux lois de probabilité définies par leurs fonctions caractéristiques.
Généralisation du premier procédé de réduction.
Deuxième procédé de réduction.

5 - La loi des grands nombres.
La formule de Stirling.
Énoncés divers de la loi des grands nombres.
Théorèmes de Tchebychef et de Poisson.
Étude du jeu de pile ou face par la méthode directe.
Première généralisation des résultats obtenus par la méthode directe.
Deuxième généralisation.
Troisième généralisation.
Application de la notion de fonction caractéristique.
Théorème fondamental établissant le rôle de la loi de Gauss.
Remarques sur le théorème précédent.
Représentation des lois de probabilité dans l'espace fonctionnel.
L'exemple de M. Lindeberg.
Le point de vue de M. Lindeberg.
La méthode de M. Lindeberg.
Comparaison des différentes méthodes employées pour la démonstration de la loi des grands nombres.

6 - Les lois exceptionnelles.
Notions générales.
Recherche des lois stables.
Domaine d'attraction des lois Lα, β.
Existence des lois Lα, β.
Relations entre les probabilités des grandes valeurs de la variable et l'allure de la fonction caractéristique à l'origine.
Étude de la composition d'un grand nombre d'erreurs dans le cas de lois qui ne son pas des lois Lα, β.
Composition de lois appartenant à des domaines d'attraction différents.
Lois semi-stables.

7 - Notions sur la théorie des erreurs.
Notions générales.
La compensation des erreurs accidentelles.
Importance du fait que l'erreur accidentelle obéisse à la loi de Gauss.
Détermination des paramètres de précision.
Application du principe des probabilités des causes.
La méthode des moindres carrés.
Application à un problème de nivellement.

8 - Notions sur la théorie cinétique des gaz.
Notions générales.
La loi de Maxwell. Méthodes de Maxwell et de M. Borel pour obtenir cette loi.
Justification de la loi de Maxwell.
Réversibilité et irréversibilité. Conclusion relative à la loi de Maxwell.
Libre parcours moyen.
Calcul de la pression sur les parois.
Généralisations diverses.
Détermination des constantes moléculaires.
Note.
Les lois de probabilité dans les ensembles abstraits.

***
On sait que le calcul des probabilités repose essentiellement sur un théorème unique, la loi des grands nombres. On peut dire que la théorie a pour seul objet de démontrer ce théorème, et quelques autres qui s'y rattachent. Les problèmes relatifs aux jeux de cartes, qui tiennent souvent une grande place dans les traités de calcul des probabilités, n'ont d'intérêt que comme exemples simples permettant de faire comprendre la portée des principes. Mais dès qu'ils deviennent plus compliqués, ce sont des exercices d'analyse combinatoire plutôt que de calcul des probabilités.
Pour établir la loi des grands nombres, ou plutôt pour établir les quelques résultats qui la complètent et la précisent, et mettent en évidence le rôle de la loi de Gauss dans la théorie des erreurs, on peut ne pas chercher à faire une théorie mathématique précise et se contenter de raisonnements de bon sens. C'est ce qu'ont fait MM. Borel et Deltheil dans leur petit livre publié dans la collection Armand Colin, et il n'y a rien à ajouter à ce qu'ils ont dit. Mais pour le mathématicien, cela ne saurait suffire. Il faut justifier les principes fondamentaux de la théorie des erreurs en précisant convenablement la notion intuitive d'erreur accidentelle et en en déduisant par un raisonnement rigoureux que l'erreur accidentelle obéit à la loi de Gauss, M. Borel estime que ce résultat ne justifie pas l'appareil mathématique nécessaire pour y parvenir.
Le lecteur verra que cet appareil mathématique n'est pas aussi imposant qu'on le croit généralement. On arrive très simplement au résultat, en utilisant la notion de fonction caractéristique. J'ai indiqué cette méthode dès 1920 dans mon cours de l'École Polytechnique. Constatant qu'elle semblait peu connue, et que son utilisation systématique conduisait à des résultats nouveaux, j'ai, en 1922 et 1923, présenté à l'Académie des Sciences quelques notes sur ce sujet. Grande a été ma surprise en apprenant par une lettre de M. G. Polya, écrite à la suite de la première de ces notes, que cette méthode et quelques-uns des résultats que je croyais nouveaux avaient été développés dans des notes présentées par Cauchy à l'Académie des Sciences en 1853 ; il est même possible que tous les résultats de Cauchy n'aient pas été publiés ; l'Académie des Sciences trouvait en effet que l'illustre savant mettait trop peu de discrétion à remplir les Comptes rendus de ses découvertes. Quoi qu'il en soit, il est singulier que quelques notes du plus grand mathématicien de l'époque, relatives à un problème qui a fait l'objet de tant de recherches, n'aient pas attiré l'attention. Poincaré, dans la deuxième édition de son Calcul des Probabilités, indique en quelques lignes le principe de la méthode de Cauchy ; il semble d'ailleurs qu'il ait ignoré qu'elle était de Cauchy et il est à peu près certain qu'il n'en a pas vu toute la portée. Aucun des ouvrages publiés depuis n'indique cette méthode, qui semble avoir été ignorée même par les rédacteurs de l'Encyclopédie des Sciences Mathématiques. Aussi, ai-je pensé qu'un nouveau livre, consacré en grande partie au développement systématique de cette méthode, ne ferait pas double emploi avec les précédents.
Paul LÉVY, Préface